GBT

In questa pagina si trovera' a breve un piccolo insieme di informazioni sulla teoria di trave generalizzata, estratto dalla mia tesi di dottorato. La pagina è in lavorazione, scusatemi per il disagio.

La teoria di trave generalizzata (si indica generalmente con l'acronimo "gbt" nella letteratura anglosassone o "vtb" nella letteratura in lingua tedesca) fu sviluppata da richard schardt negli anni ottanta a darmstad, in germania.

E' una teoria di trave che può essere davvero utile a tutti coloro che sono interessati nel progetto di strutture di travi leggere e snelle, con sezioni trasversali molto performanti, nelle quali si richiedono superiori resistenza e rigidezza flessionali a parità di peso.

E' una teoria di trave di ordine superiore, la cui cinematica e' formulata pensando a travi la cui sezione trasversale risulta dalla composizione di un numero arbitrario di segmenti di piccolo spessore.

Tali travi (dette "in parete sottile") sono tipicamente profilati metallici, grandi sezioni scatolari in cemento armato o acciaio, profili in alluminio o in materiale composito.

La gbt e' una estensione della teoria di vlasov, tiene dunque in conto della torsione biflessionale, ma la sua peculiarita' caratterizzante e' sicuramente quella di considerare la distorsione della sezione trasversale. Si puo' pensare a titolo di esempio ad una sezione a c, nella quale durante il processo deformativo la c si apre o chiude, a seconda di come sono applicati i carichi, dei vincoli trasversali e del fatto che si tenga in conto o meno della non linearita' geometrica o del materiale.

La gbt tiene in conto tutti questi fenomeni senza pur perdere di grande semplicità, eleganza, e coerenza formali: è una teoria di trave nella quale una membratura in parete sottile è descritta con la medesima ricchezza cinematica che si avrebbe mediante una mesh di elementi finiti bidimensionali.

Naturalmente, si puo obiettare che esistono oggi numerosissimi software commerciali ad elementi finiti che sono in grado di supportare l'ingegnere strutturista nel realizzare modelli di questo ultimo tipo.

A mio parere, la differenza tra usare una teoria di ordine elevato di elemento monodimensionale rispetto ad una mesh di shell che modella una trave, e' davvero grande: la medesima differenza che c'e' tra comprendere e descrivere un fenomeno o, se volete, tra progettare una struttura e verificarla.

La differenza principale, dal punto di vista tecnico, è che l'impiego di una teoria di trave di ordine superiore consente di ordinare in modo energeticamente gerarchico le componenti di deformazione, in uno spazio ortogonale nel quale, tra l'altro, molti dei vettori della base hanno una chiara ed inequivocabile interpretazione fisica, riconducibile agli ordinari atti deformativi della trave alla vlasov universalmente noti.

Prima di introdurre la cinematica della gbt, consideriamo a titolo di esempio una sezione a C, ed introduciamo i seguenti 6 atti deformativi, illustrati con una metodologia di rappresentazione tipica di questa teoria:

Nelle figure soprastanti sono sempre rappresentati due campi di spostamento:

    • nella immagine di sinistra sono rappresentati gli spostamenti assiali nel modo i-esimo (in questo caso i=1,2,3,4,5,6
    • nella immagine di destra sono rappresentati gli spostamenti nel piano per il modo i-esimo.

E' immediato dare una interpretazione fisica ai modi in figura precedente:

  • il modo 1 corrisponde alla dilatazione assiale della trave (gli spostamenti fuori piano sono uniformi, e ad essi non e' associato alcuno spostamento nel piano.
  • il modo 2 e 3 corrispondono alla flessione della trave classica alla eulero. Gli spostamenti fuori piano sono infatti proporzionali alla distanza dall'asse neutro, mentre quelli nel piano corrispondenti sono una traslazione uniforme della sezione in una direzione principale di inerzia.
  • Il modo 4 e' esattamente una torsione della trave con ingobbamento alla vlasov: ad un moto fuori piano proporzionale all'area settoriale corrisponde un moto di rotazione nel piano.
  • i modi 5 e 6 sono modi deformativi della sezione: il primo modo è di "apertura della sezione", il secondo modo e' un atto cinematico di distorsione della sezione emisimmetrico. Interessante sapere che i flussi di taglio associati alla derivata lungo l'asse della trave di un campo di spostamenti proporzionale a quello dei modi 5 e 6 sono autoequilibrati.

I modi rappresentati in figura 1,2,3,4,5,6 sono solo una classe dei modi possibili con i quali la GBT può descrivere il comportamento di una trave ad asse lineare. I modi rappresentati nelle figure soprastanti sono la classe di modi originaria della formulazione di R.Schardt, vengono talvolta detti "modi fondamentali".

Esistono almeno altre tre classi di modi, correntemente reperibili in letteratura e capaci di arricchire la cinematica con modi deformativi locali e deformabilità a taglio delle pareti. A titolo di esempio nella figura sottostante la deformata critica euleriana di una trave sottoposta a carico di punta nella quale la cinematica è stata descritta con tutte le 4 classi di modi correntemente reperibili in letteratura.

Veramente, la cinematica e' così articolata che non c'è differenza alcuna, nella ricchezza del campo di spostamento, tra un modello ad elementi finiti di tipo SHELL ed un modello a trave del tipo GBT, con elementi finiti lineari, costruito con la quantità di modi opportuna!

Per semplicità descrittiva, ci limitiamo nel seguito a considerare la sola classe di modi fondamentali, dando comunque formule e concetti generalmente validi per tutte le classi.

Diamo ora la seguente notazione:

[to be completed]